Question

【题目】AE为⊙O的直径，D为的中点，过E点的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：∠AEB＝2∠F；

（2）若AD＝2，DF＝4，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接ED,根据直径所对的圆周角为直角得:∠ADE=90°,∠A+∠AED=90°,由切线的性质得:∠AEF=90°,∠A+∠F=90°,所以∠AED=∠F,根据弧的中点和同弧所对的圆周角相等得:∠AED=∠BED,从而得出结论;

（2）如图2,作辅助线,构建直角三角形,先根据相似求直径AE =,则半径为,在直角△AOG和直角△ADG中利用勾股定理列方程可求得结论．

证明：（1）如图1,

连接ED,

∵D为的中点,

∴＝,

∴∠AED＝∠BED,

∵AE为⊙O的直径,

∴∠ADE＝90°,

∴∠A+∠AED＝90°,

∵EF为⊙O的切线,

∴AE⊥EF,

∴∠AEF＝90°,

∴∠A+∠F＝90°,

∴∠AED＝∠F,

∵∠AEB＝∠AED+∠BED＝2∠AED,

∴∠AEB＝2∠F；

（2）如图2,

∵∠A＝∠A,∠ADE＝∠AEF＝90°,

∴△ADE∽△AEF,

∴ ,

∵AD＝2,DF＝4,

∴ ,

∴AE＝±,

∴AE＝,

∴AO＝,

连接AB、OD,AB、OD交于点G,

∵D为的中点,

∴OD⊥AB,

∴AG＝BG,

∵AO＝OE,

∴OG＝BE,

设OG＝x,则GD＝﹣x,

由勾股定理得：AO2﹣OG2＝AD2﹣GD2,

则,

解得：x＝,

∴OG＝,

∴BE＝2OG＝．