Question

2．如图，点A（1，4），B（-4，n）在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，直线AB分别交x轴、y轴于C，D，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，连接AF，BE交于点G．
（1）求k的值及直线AB的解析式；
（2）判断四边形ADEF的形状，并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k，利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，
解得k=4，
∴点B的坐标（-4，-1），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+3；
（2）直线AB的解析式为y=x+3与y轴的交点D的坐标为（0，3），
∴OD=3，又OF=1，
∴DF=4，又AE=4，
∴AE=DF，
∵AE∥DF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

点评 本题考查的是一次函数与反比例函数的交点、平行四边形的判定，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．