Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为AC边上一点，且CD＝2AD＝4，过点D作DE⊥AB于点E．

(1)求AB的长；

(2)如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转60°，延长DE交AC于点G，交AB于点F，连接CF．

求证：点F是AB的中点．

(3)如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线恰好经过点B时，若点P为BD的中点，连接CP、PF．

求证：∠PCE＝∠PEC．

Answer 1

【答案】（1）4 ；（2）见解析；（3）见解析；

【解析】分析：(1)求出AC的长后，根据直角三角形中的30°角结合勾股定理求解；(2)判断△ADF是含30°角的直角三角形，则AD＝2，由勾股定理求AF的长，结合AB的长求证；(3)证点B，C，P，F四点共圆得∠BPC＝60°，证点A，E，C，B四点共圆得∠BEC＝30°.

详解：(1)∵CD＝2AD＝4，∴AC＝6，

设BC＝x，则AB＝2x.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，即(2x)2＝62＋x2.

解得，AB＝.

(2)由题意得：∠DAG＝∠EAF＝60°，∠D＝90°－∠DAE＝60°，

则∠DAB＝90°，

所以DF＝2AD＝4，由勾股定理得AF＝，

∴AF＝AB，即F是AB的中点．

(3)∵点P，点F分别是BD，BA的中点，

∴PF∥AD，∴∠FPB＝∠D＝60°，

由(2)可知，AF＝CF，

∵∠FCA＝∠FAC＝30°，∴∠BCF＝60°，

∴∠FPB＝∠BCF，∴C，B，F，P四点共圆，

∴∠CPB＝∠CFB＝60°，∵∠AEB＝∠ACB＝90°，

∴A，E，C，B四点共圆，∴∠CEP＝∠CAB＝30°，

∴∠ECP＝∠CPB－∠CEP＝30°，

∴∠PCE＝∠PEC．