Question

18．如果a＞0，且a的倒数等于它本身，b是最大的负整数．
（1）求（a+b）³×（$\frac{b}{a}$）³-2012的值；
（2）若x为负数，化简|a-x|+|b+x|+|x|；
（3）计算
$\frac{1}{a+1}+（\frac{1}{a+2}+\frac{2}{a+2}）$+（$\frac{1}{a+3}+\frac{2}{a+3}+\frac{3}{a+3}$）+（$\frac{1}{a+4}+\frac{2}{a+4}+\frac{3}{a+4}+\frac{4}{a+4}$）+…+（$\frac{1}{a+29}+\frac{2}{a+29}+\frac{3}{a+29}+…+\frac{29}{a+29}$）．（提示：1+2+3+…+29=435）

Answer 1

分析 根据题意求出a、b的值；
（1）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解．
（2）把a、b的值代入，然后利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可．
（3）先把原式化成$\frac{1}{a+1}$+$\frac{3}{a+2}$+$\frac{6}{a+3}$+$\frac{10}{a+4}$+…+$\frac{435}{a+29}$，把a=1代入得到$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{4}{2}$+$\frac{5}{2}$+…+$\frac{29}{2}$，根据同分母的分数计算即可．

解答 解：∵a＞0，且a的倒数等于它本身，b是最大的负整数．
∴a=1，b=-1，
（1）（a+b）³×（$\frac{b}{a}$）³-2012
=（1-1）³×（$\frac{-1}{1}$）³-2012
=-2012；
（2）|a-x|+|b+x|+|x|
=|1-x|+|-1+x|+|x|
=1-x+x-1-x
=-x；
（3）
$\frac{1}{a+1}+（\frac{1}{a+2}+\frac{2}{a+2}）$+（$\frac{1}{a+3}+\frac{2}{a+3}+\frac{3}{a+3}$）+（$\frac{1}{a+4}+\frac{2}{a+4}+\frac{3}{a+4}+\frac{4}{a+4}$）+…+（$\frac{1}{a+29}+\frac{2}{a+29}+\frac{3}{a+29}+…+\frac{29}{a+29}$）
=$\frac{1}{a+1}$+$\frac{3}{a+2}$+$\frac{6}{a+3}$+$\frac{10}{a+4}$+…+$\frac{435}{a+29}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{4}{2}$+$\frac{5}{2}$+…+$\frac{29}{2}$
=210．

点评 本题考查了代数式的求值、整式的加减以及绝对值，求出a、b的值是解题的关键．