Question

14．如图，某抛物线顶点坐标为（2，-1）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积．
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解；
（2）可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积；
（3）由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标．

解答 解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x-2）²-1，将C（O，3）代入，
得：a（0-2）²-1=3，解得a=1，
所以抛物线的解析式：y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点，
∴A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：
3k+3=0，解得k=-1，
∴直线BC：y=-x+3；
∵抛物线y=x²-4x+3的对称轴为：x=2，则D（2，1）；
∴AD=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即：AC²=AD²+CD²，
∴△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=2；

（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x²-4x+3=1，解得 x=2±$\sqrt{2}$；
当x=2+$\sqrt{2}$时，y=-x+3=1-$\sqrt{2}$；
当x=2-$\sqrt{2}$时，y=-x+3=1+$\sqrt{2}$；
所以E₁（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）、E₂（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．
②∠EDF=90°；
易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x²-4x+3=x-1，
x²-5x+4=0，
解得 x₁=1、x₂=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
所以E₃（1，2）、E₄（4，-1）．
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）、（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）、（1，2）、（4，-1）．

点评 此题是二次函数的综合题型，其中涉及到函数解析式的确定、三角形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．