Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．

发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，求的值为．

解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC=1：2．求的值.

应用：若CD=2，AC=6，求BP的值．

Answer 1

【答案】发现：；解决问题：；应用：6．

【解析】

发现：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；

解决问题：过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；

应用：当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出的值，就可求出BP的值．

发现：如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC．

∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．

设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．

故答案为：；

解决问题：

如图2中，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．

∵E是AC中点，∴AE=CE．

∵AF∥DB，∴∠F=∠1．

在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．

∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴====．

应用：

当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．

∵=（已证），∴=，∴BP=BF=×10=6．

故答案为：6．