Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：

①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AHDE；⑤GO+BH=HC

正确结论的个数有（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】B

【解析】

建立以B点位坐标原点的平面直角坐标系，分别求出相应直线的解析式和点的坐标，求出各线段的距离，可得出结论.

解：如图，

建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2，可分别得各点坐标，

A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E为CD的中点,可得E点坐标（2，1），可得AE的直线方程，，由OF为直线AE的中垂线可得O点为，设直线OF的斜率为K，得，可得k=2,同时经过点O(),可得OF的直线方程：

，可得OF与x轴、y轴的交点坐标G(,0),H(0,),及F(,2),

同理可得：直线CO的方程为：，可得M点坐标（，2），

可得：①FG=,

AO= =,

故FG=2AO，故①正确；

②：由O点坐标，D点坐标（2，2），可得OD的方程：，

由H点坐标(0,)，E点坐标（2，1），可得HE方程：，

由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，

故②错误；

③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），

可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,

故=，

故③正确；

④：由O点坐标，E（2，1），H(0,)，D(2,2),

可得：,

AH=,DE=1,有2OE2=AHDE，

故④正确；

⑤：由G(,0)，O点坐标，H(0,)，C(2,0),

可得：,

BH=,HC=,

可得：GO≠BH+HC,

故正确的有①③④，

故选B.