Question

18．已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；
（3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²，然后将（0，1）代入可求得a的值，从而可求得二次函数的表达式；
（2）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN，由勾股定理可知HC²=CN²-CH²=BC²-CH²，依据两点间的距离公式可求得HN=2，结合垂径定理可求得MN的长；
（3）分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，然后依据相似三角形的对应边成比例可求得AM的距离，从而可求得点M的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²．
∵将（0，1）代入得：4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²．
（2）MN的长不发生变化．
理由：如图1所示，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN．

设点C的坐标为（a，$\frac{1}{4}（a-2）^{2}$）．
∵CH⊥MN，
∴MH=HN．
∵HN²=CN²-CH²=CB²-CH²，
∴HN²=[2-$\frac{1}{4}（a-2）^{2}$]²+（a-2）²-[$\frac{1}{4}（a-2）^{2}$]²=4．
∴HN=2．
∴MN=4．
∴MN不发生变化．
（3）如图2所示：

①当点C与点A重合时．
∵MN经过点C，
∴MN为圆C的直径．
∴MC=2．
∵点C（2，0），
∴M（0，0）．
②如图3所示：

∵△ABM∽△ANB，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{AB}$，即AB²=AM•AN．
设AM=a，则4=a（a+4），解得：a₁=-2+2$\sqrt{2}$，a₂=-2-2$\sqrt{2}$（舍去），
又∵点A（2，0），
∴2+（-2+2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
∴点M的坐标为（2$\sqrt{2}$，0）．
如图4所示：

∵△ABN∽△AMB，
∴AB²=AN•AM．
设AM=a，则4=a（a-4），解得：a₁=2+2$\sqrt{2}$，a2=2-2$\sqrt{2}$（舍去）．
又∵点A（2，0），
∴2-（2+2$\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$．
∴点M的坐标为（-2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数函数的解析式、垂径定理、两点间的距离公式、勾股定理、相似三角形的性质，分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，并由相似三角形的性质求得AM的长是解题的关键．