Question

13．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．若PE=4，EF=5，则线段PC的长为6．

Answer 1

分析 利用正方形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD，根据全等三角形的性质得到PA=PC，通过△APE∽△FPA，结合PA=PC，可得到PC、PE、PF之间的关系，于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD，
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
又∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴$\frac{AP}{FP}$=$\frac{PE}{PA}$，
∴PA²=PE•PF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC²=PE•PF=4×9，
∴PC=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明△APE∽△FPA是解题的关键，