Question

12．如图，平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF，AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=$\sqrt{2}$BE，②△BHE∽△BCF，③AB=BH，④△BHD∽△BDG，其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由题意可知△BDE是等腰直角三角形，故此可得到BD=$\sqrt{2}$BE，②由∠HBE=∠CBF，∠HEB=∠CFB证明即可；③先证明△BHE≌△DEC，从而得到BH=DC，然后由平行四边形的性质可知AB=BH；④由∠BDH≠∠G可知△BHD与△BDG不相似．

解答 解：①∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴BD=$\sqrt{2}$BE，故①正确；
②∵∠HBE=∠CBF，∠HEB=∠CFB，
∴△BHE∽△BCF，故②正确．
③∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DBC=∠BDE=45°．
∴DE=BE．

由②可知：△BHE∽△BCF，
∴∠BHE=∠DCE．
在△BHE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BHE=∠DCE}\\{∠BEH=∠DEC}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△DCE．
∴BH=DC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC．
∴AB=BH，故③正确．
④在△BHD和△BDG中，∠DBH=∠DBG，但是两锐角：∠BDH≠∠G，故△BHD与△BDG不相似，故④错误．
故选：B．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．