Question

【题目】如图1，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）点是抛物线第象限上一点，设点的横坐标为，连接，如果点关于直线的对称点落在轴下方(含轴)，求的取值范围；

（3）如图2，连接将绕平面内某点顺时针旋转，得到点的对应点分别是点、若的两个项点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范围为； （3）点的坐标为或

【解析】

（1）直接利用待定系数法即可求解；

（2）首先根据二次函数的解析式求出B,C的坐标，然后设点关于直线对称的点恰好在轴上时，对称点为，根据轴对称的性质和勾股定理求出点E的坐标，进而求出直线AP的解析式，然后将直线AP的解析式与二次函数的解析式联立，求出P点的横坐标，然后数形结合即可得出答案；

（3）分两种情况：当在二次函数图像上时和当在二次函数图像上时，设点的坐标为将点的坐标代入二次函数中，通过联立求方程组的解即可得出答案．

二次函数的图象过点

即；

令，则

解得，

，

令，则

，

则

设点关于直线对称的点恰好在轴上时，对称点为，

，

设长为

则

在中，，

即

解得

点的坐标为，

设直线的函数表达式为

所以解得

即．

设直线与二次函数的图像交点的横坐标为，

则

解得，

点关于直线的对称点落在轴下方(含轴)时，

的取值范围为；

设点的坐标为

当在二次函数图像上时，

则点的坐标为、点的坐标为

解得，

即点的坐标为；

当在二次函数图像上时，

则点的坐标为

，

解得

即点的坐标为

综上可知点的坐标为或