Question

【题目】如图，在线段AB上任取一点M（）、把线段MB绕M点逆时针旋转90°至MC.连接AC，作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的三角形是一个直角三角形，我们称点M，N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3，连接CD，则CD=______.

Answer 1

【答案】

【解析】

如图中，连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN=NF就可以了．

如图，连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE．

∵△ABC，△DMN都是等腰直角三角形，

∴∠DMN=∠A=45°，∠CBA=∠DNM=45°

∴DM∥AC，DN∥BC，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

∴EF∥BC，

∴EF∥BC∥ND，

∵DM=DN=EF，

∴四边形EFND是平行四边形，

∴ED=NF，

由∠NBF=∠FBC+∠CBA=90°

则=+，

点M，N是线段AB的勾股分割点，（）

则=+，

又AM=BF，

可知MN=NF，

∴MN=ED，

在RT△CDE中，∵CD=CE，∠DCE=90°，

DE=CD，

MN=CD，

MN=3，

则CD==.