【题目】如图所示，将矩形纸片OABC放置在直角坐标系中，点A(3，0)，点C(0，
).
(I).如图，经过点O、B折叠纸片，得折痕OB，点A的对应点为
,求
的度数；
(Ⅱ)如图，点M、N分别为边OA、BC上的动点，经过点M、N折叠纸片，得折痕MN，点B的对应点为
①当点B的坐标为(-1，0)时，请你判断四边形
的形状，并求出它的周长；
②若点N与点C重合，当点落在坐标轴上时，直接写出点M的坐标.
【答案】(Ⅰ)30°；(Ⅱ)①四边形
为菱形，周长为
；②(3+
，0)或(
，0).
【解析】
（Ⅰ）由点A、C的坐标可得出OA、AB的长，即可求出tan∠BOA的值，根据特殊角的三角函数值可得∠BOA的度数，根据折叠的性质利用角的和差关系即可得答案；（Ⅱ）①连接
，交MN与点E．点B，
关于MN对称可得MN是BB1的垂直平分线，即可得出
，
，BN=B1N，BM=B1M，根据矩形的性质可得
．即可证明
，进而可得
，即可证明四边形B1MBN是菱形，过N作
，垂足为F，设
，在Rt△NFB1中，利用勾股定理列方程求出x的值即可得出答案；②分别讨论B1在y轴和x轴两种情况，根据折叠的性质即可得答案.
（Ⅰ）∵矩形OABC，
∴
．
，
∴
．
∵点A的对应点为A1，
∴
．
∴
．
（Ⅱ）①连接，交MN与点E．
∵点B，关于MN对称，
∴MN垂直平分，
∴BN=B1N，BM=B1M，，．
∵
，
∴．
∴．
∴．
∴BN=B1N=B1M=BM，
∴四边形为菱形．
过N作，垂足为F．
设，则
，
．
在
中，
，
∴
，
解得
．
∴菱形的周长为．
②如图，当B1在y轴上时，CM是BB1的垂直平分线，
∴BC=B1C，
∵∠BCB1=90°，
∴∠B1CM=45°，
∴OM=OC=
，
∴点M的坐标为（，0）.
如图，当B1在x轴上时，CM是BB1的垂直平分线，
∴B1C=BC=3，
∴OB1=
=
=
，
∵∠BCD=∠B1MD，∠B1DM=∠BDC=90°，BD=B1D，
∴△BCD≌△B1MD，
∴B1M=BC=3，
∴OM=OB1+B1M=3+，
∴点M的坐标为（3+，0）
综上所述：点M的坐标为（3+，0）或（，0）.
同步奥数系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，将
沿着过
的中点
的直线折叠，使点
落在
边上的
处，称为第一次操作，折痕
到的距离为
；还原纸片后，再将
沿着过
的中点
的直线折叠，使点落在边上的
处，称为第二次操作，折痕
到的距离记为
；按上述方法不断操作下去……经过第
次操作后得到折痕
，到的距离记为
．若
，则的值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】为了解某校八年级体育科目训练情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中
的度数是__________，并把图2条形统计图补充完整．
（2）抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在__________级；
（3）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩．
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【题目】某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店
两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，
种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若
种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
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【题目】在平面直角坐标系中，矩形
的顶点坐标为
，
交于点
．
（1）如图（1），双曲线
过点，直接写出点的坐标和双曲线的解析式；
（2）如图（2），双曲线
与
分别交于点
，点
关于
的对称点
在
轴上．求证
，并求点的坐标；
（3）如图（3），将矩形向右平移
个单位长度，使过点的双曲线
与
交于点
．当
为等腰三角形时，求
的值．
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【题目】某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m.
任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).
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【题目】如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于
、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，其中
．
求该一次函数和反比例函数的解析式；
若点D是x轴正半轴上一点，且
，连接OB、BD，求
的面积．
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【题目】如图，在线段AB上任取一点M（
）、把线段MB绕M点逆时针旋转90°至MC.连接AC，作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的三角形是一个直角三角形，我们称点M，N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，
，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3，连接CD，则CD=______.
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