Question

【题目】如图①，在中，，，D是BC的中点．

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．

① ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ．

（2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．

【解析】

（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明，，推出即可．

（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明即可解决问题．

（3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值．

（1）①如图②中，

∵，，

∴，

②结论：．

理由：∵，，

∴，

∴，

∴，

∵AE垂直平分线段BC，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案为50，．

（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．

∵AD垂直平分线段BC，

∴，

∴，

∵，

∴ ．

（3）如图④中，作于H，

∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，

∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值．