Question

20．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，且cos∠DAE=$\frac{1}{2}$，tan∠ADE=1，若△ABE的面积是2$\sqrt{3}$，那么△ECD的面积是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 6
• D． 12

Answer 1

分析 由矩形的性质求得AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°，AD∥BC，进而根据平行线的性质得出cos∠AEB=$\frac{1}{2}$，tan∠DEC=1，设BE=x，根据cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{x}{AE}$=$\frac{1}{2}$，得出AE=2x，然后根据勾股定理求得AB=$\sqrt{3}$x，根据面积求得x的值，从而求得DC的长，由tan∠DEC=1，得出DC=EC=2$\sqrt{3}$，根据三角形面积公式求得即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，∠DEC=∠ADE，
∵cos∠DAE=$\frac{1}{2}$，tan∠ADE=1，
∴cos∠AEB=$\frac{1}{2}$，tan∠DEC=1，
设BE=x，
在RT△ABE中，cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{x}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2x，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$x
∵△ABE的面积是2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，解得x=2，
∴AB=$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴DC=AB=2$\sqrt{3}$，
在RT△ECD中，tan∠DEC=1，
∴$\frac{DC}{EC}$=1，
∴DC=EC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ECD=$\frac{1}{2}$DC•EC=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×$2\sqrt{3}$=6．
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理和直角三角函数等，根据三角形的面积、三角函数、勾股定理求得AB的长是解题的关键．