Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）求证：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，①求边CP的长；②求边AB的长；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①CP＝4；②边AB的长为10．

【解析】

（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似；

（2）根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折叠可得：AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B．

∴∠APO＝90°．

∴∠APD＝90°﹣∠CPO＝∠POC．

∵∠D＝∠C，∠APD＝∠POC．

∴△OCP∽△PDA；

（2）①∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴＝＝＝＝．

∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP．

∵AD＝8，

∴CP＝4；

②∵BC＝AD＝8．

设OP＝x，则OB＝x，CO＝8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8﹣x，

∴x2＝（8﹣x）2+42．

解得：x＝5．

∴AB＝AP＝2OP＝10．

∴边AB的长为10．