Question

10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是$\widehat{BC}$的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若tan∠CAD=$\frac{1}{2}$，AB=5，求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，由直线EF与⊙O相切于点D，得到OD⊥EF，由同圆的半径相等推出∠1=∠3，由点D为$\widehat{BC}$的中点，得到∠1=∠2，证得∠2=∠3，得到OD∥AF，得出结论AF⊥EF；
（2）连结BD，通过解直角三角形得到BD=$\sqrt{5}$，AD=$2\sqrt{5}$，DF=2，AF=4，由三角形相似列比例式求解．

解答 （1）证明：连结OD，
∵直线EF与⊙O相切于点D，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∵点D为$\widehat{BC}$的中点，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AF，
∴AF⊥EF；
（2）解：连结BD，
∵$tan∠CAD=\frac{1}{2}$，
∴$tan∠1=\frac{1}{2}$，
在Rt△ADB中，AB=5，
∴BD=$\sqrt{5}$，AD=$2\sqrt{5}$，
在Rt△AFD中，可得DF=2，AF=4，
∵OD∥AF，
∴△EDO∽△EFA，
∴$\frac{OD}{AF}=\frac{OE}{AE}$，
又∵OD=2.5，设BE=x，
∴$\frac{2.5}{4}=\frac{2.5+x}{5+x}$，
∴$x=\frac{5}{3}$，即BE=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．