【题目】如图,在直角坐标系中,
,
,
是线段
上靠近点
的三等分点.
(1)若点是
轴上的一动点,连接
、
,当
的值最小时,求出点
的坐标及
的最小值;
(2)如图2,过点作
,交
于点
,再将
绕点
作顺时针方向旋转,旋转角度为
,记旋转中的三角形为
,在旋转过程中,直线
与直线
的交点为
,直线
与直线
交于点
,当
为等腰三角形时,请直接写出
的值.
【答案】(1),
;(2)α的值为45°,90°,135°,180°.
【解析】
(1)作HG⊥OB于H.由HG∥AO,求出OG,HG,即可得到点H的坐标,作点B关于y轴的对称点B′,连接B′H交y轴于点M,则B'(-2,0),此时MB+MH的值最小,最小值等于B'H的长;求得直线B′H的解析式为y= ,即可得到点M的坐标为
.
(2)依据△OST为等腰三角形,分4种情况画出图形,即可得到旋转角的度数.
解:(1)如图1,作HG⊥OB于H.
∵HG∥AO,
∴
∵OB=2,OA= ,
∴GB= ,HG=
,
∴OG=OB-GB= ,
∴H(,
)
作点B关于y轴的对称点B′,连接B′H交y轴于点M,则B'(-2,0),
此时MB+MH的值最小,最小值等于B'H的长.
∵B'(-2,0),H(,
)
B'H=
∴MB+MH的最小值为
设直线B'H的解析式为y=kx+b,则有
解得:
∴直线B′H的解析式为
当x=0时,y=
∴点M的坐标为:
(2)如图,当OT=OS时,α=75°-30°=45°;
如图,当OT=TS时,α=90°;
如图,当OT=OS时,α=90°+60°-15°=135°;
如图,当ST=OS时,α=180°;
综上所述,α的值为45°,90°,135°,180°.
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【题目】如图,在△ABC中,BC=AC=6,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)求点O到直线DE的距离.
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【题目】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
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【题目】杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市,水果店的老板用1200元购进一批杨梅,很快售完;老板又用2500元购进第二批杨梅,所购件数是第一批的2倍,但进价每件比第一批多了5元.
(1)第一批杨梅每件进价多少元?
(2)老板以每件150元的价格销售第二批杨梅,售出后,为了尽快售完,决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元,剩余的杨梅每件售价至少打几折(利润
售价
进价)?
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【题目】给定关于的二次函数
,
学生甲:当时,抛物线与
轴只有一个交点,因此当抛物线与
轴只有一个交点时,
的值为3;
学生乙:如果抛物线在轴上方,那么该抛物线的最低点一定在第二象限;
请判断学生甲、乙的观点是否正确,并说明你的理由.
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【题目】如图:由火柴棒拼出的一列图形,第个图形是由
个等边三角形拼成的,通过观察,分析发现:第8个图形中平行四边形的个数( ).
A.16B.18C.20D.22
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【题目】抛物线 y=ax2+bx+5 的顶点坐标为(2,9),与 y 轴交于点 A(0,5),与 x 轴交于点 E、B(点 E 在点 B 的左侧),点 P 为拋物线上一点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)过点 A 作 AC 平行于 x 轴,交抛物线于点 C,当点 P 在 AC 上方时,作 PD平行于 y 轴交 AB 于点 D,求使四边形 APCD 的面积最大时点 P 的坐标;
(3)设 N 为 x 轴上一点,当以 A、E、N、P 为顶点,AE 为一边的四边形是平行四边形时,求点 P 的坐标.
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【题目】汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
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