Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．
（1）请你写出图中所有等腰三角形；
（2）判断EF、BE、FC之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得到∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，等量代换得到∠AEF=∠AFE，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的定义得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，得到∠DBC=∠DCB，即可得到结论；
（2）由（1）证得DE=BE，DF=CF，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BE=DE，DF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；

（2）EF=BE+CF，
理由：由（1）证得：DE=BE，DF=CF，
∴EF=DE+DF=BE+CF．

点评 此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．