【题目】如图1,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,BF,交点为G.若正方形的边长为2.
(1)求证:AE⊥BF;
(2)将△BCF沿BF对折,得到△BPF(如图2),延长FP交BA的延长线于点Q,求AQ的长;
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,得到△AHM(如图3),若AM和BF相交于点N,求四边形MNGH的面积.
【答案】(1)详见解析;(2);(3).
【解析】
(1)运用Rt△ABE≌Rt△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°即可;
(2)首先利用折叠的性质和平行线的性质得到QF=QB,然后在Rt△QPB中,利用勾股定理即可解决问题.
(3)首先证明△AGN∽△AHM,再根据面积比等于相似比的平方,求得S△AGN=,再利用S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解.
(1)证明: ∵四边形ABCD是正方形,
.
∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,
∴CF=BE.
在Rt△ABE和Rt△BCF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF.
又∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠BGE=90°,
∴AE⊥BF.
(2)由折叠的性质得FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=∠BCF =90°,
∵四边形ABCD是正方形,
.
∴∠CFB=∠ABF,
∴∠ABF=∠PFB,
∴QF=QB.
∵PF=FC=1,PB=BC=2,
在Rt△BPQ中,设QB=x,
∴x2=(x﹣1)2+22,
∴x=,
∴AQ=BQ﹣AB=.
(3)解: ,
.
由旋转的性质可知, .
∵∠BAE=∠EAM,AE⊥BF,
∴AN=AB=2.
∵∠AHM=90°,
.
.
∴GN∥HM,
∴△AGN∽△AHM,
∴=( )2.
,
∴=( )2,
∴S△AGN=,
∴S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=,
∴四边形GHMN的面积是 .
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【题目】将一副三角尺(在中,,,在中,,)如图摆放,点为的中点,交于点,经过点,将绕点顺时针方向旋转(),交于点,交于点,则的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】数学活动课上,小明和小红要测量小河对岸大树BC的高度,小红在点A测得大树顶端B的仰角为45°,小明从A点出发沿斜坡走3米到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°,且斜坡AF的坡比为1:2.
(1)求小明从点A到点D的过程中,他上升的高度;
(2)依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度?若能,请计算;若不能,请说明理由.(参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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【题目】某运输公司现将一批152吨的货物运往A,B两地,若用大小货车15辆,则恰好能一次性运完这批货.已知这两种大小货车的载货能力分别为12吨/辆和8吨/辆,其运往A,B两地的运费如下表所示:
目的地(车型) | A地(元/辆) | B地(元/辆) |
大货车 | 800 | 900 |
小货车 | 400 | 600 |
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆.(用二元一次方程组解答)
(2)现安排其中的10辆货车前往A地,其余货车前往B地,设前往A地的大货车为x辆,前往A,B两地总费用为w元,试求w与x的函数解析式.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使S△ABM=,过点B作BN⊥AM,垂足为N,O是对角线AC,BD的交点,连接ON,则ON的长为________.
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【题目】欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。下面是甲、乙两位同学的做法:甲:如图1,裁一张边长为1的正方形的纸片,先折出的中点,再折出线段,然后通过折叠使落在线段上,折出点的新位置,因而,类似地,在上折出点使。此时,的长度可以用来表示方程的一个正根;乙:如图2,裁一张边长为1的正方形的纸片,先折出的中点,再折出线段N,然后通过沿线段折叠使落在线段上,折出点的新位置,因而。此时,的长度可以用来表示方程的一个正根;甲、乙两人的做法和结果( )。
A.甲对,乙错B.乙对,甲错C.甲乙都对D.甲乙都错
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【题目】把函数的图象绕点旋转,得到新函数的图象,我们称是关于点的相关函数.的图象的对称轴与轴交点坐标为.
(1)填空:的值为 (用含的代数式表示)
(2)若,当时,函数的最大值为,最小值为,且,求的解析式;
(3)当时,的图象与轴相交于两点(点在点的右侧).与轴相交于点.把线段原点逆时针旋转,得到它的对应线段,若线与的图象有公共点,结合函数图象,求的取值范围.
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【题目】如图,已知直线与轴,轴分别交于点,抛物线的顶点是,且与轴交于两点,与轴交于点是抛物线上一个动点,过点作于点.
求二次函数的解析式;
当点运动到何处时,线段PG的长取最小值?最小值为多少?
若点是抛物线对称轴上任意点,点是抛物线上一动点,是否存在点使得以点为顶点的四边形是菱形?若存在,请你直接写出点的坐标;若不存在,请你说明理由.
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【题目】将大小相同的正三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有6个小三角形和1个正六边形;第②个图案中有10个小三角形和2个正六边形;第③个图案中有14个小三角形和3个正六边形;…;按此规律排列下去,已知一个正六边形的面积为,一个小三角形的面积为,则第③个图案中所有的小三角形和正六边形的面积之和为______.(结果用含、的代数式表示)
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