Question

【题目】数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC的高度，小红在点A测得大树顶端B的仰角为45°，小明从A点出发沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2．

（1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；

（2）依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度？若能，请计算；若不能，请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

Answer 1

【答案】（1）上升的高度为3米；（2）大树的高度约为16.5米

【解析】

（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；

（2）延长BD交AE于点G，解Rt△GDH、Rt△ADH，求出GH、AH，得到AG；设BC＝x米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据GCAC＝AG列出方程，解方程得到答案．

解：（1）作DH⊥AE于H，如图1所示：

在Rt△ADH中，∵＝，

∴AH＝2DH，

∵AH2+DH2＝AD2，

∴（2DH）2+DH2＝（3）2，

∴DH＝3．

答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；

（2）如图2所示：延长BD交AE于点G，设BC＝xm，

由题意得，∠G＝31°，

∴GH＝≈＝5，

∵AH＝2DH＝6，

∴GA＝GH+AH＝5+6＝11，

在Rt△BGC中，tan∠G＝，

∴CG＝≈＝x，

在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，

∴AC＝BC＝x．

∵GC﹣AC＝AG，

∴x﹣x＝11，

解得：x＝16.5．

答：大树的高度约为16.5米．