Question

【题目】（1）发现：如图，点是线段上的一点，分别以为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点.

①线段与的数量关系为：___________；的度数为__________.

②可看作经过怎样的变换得到的？____________________________.

（2）应用：如图，若点不在一条直线上，（1）的结论①还成立吗？请说明理由；

（3）拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离.

Answer 1

【答案】（1）①，；（2）依然成立，见解析；（3）.

【解析】

（1）①证明△ABE≌△CBD,根据全等三角形的性质即可求出线段与的数量关系；根据三角形外角的性质即可求出的度数.

②根据旋转的性质即可求解.

（2）根据（1）①中的步骤进行证明即可.

（3）

解：（1）①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，

∴AB=CB,EB=ED,

∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，

即∠ABE=∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

∴△ABE≌△CBD(SAS)，

∴AE=CD，∠BAE=∠BCD，

由三角形的外角性质，∠AOC=∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC，

∠ABC=∠BCD+∠BDC，

∴∠AOC=∠ABC=；

故答案为：；.

②可看作由绕点顺时针旋转得到的（或可看作由绕点逆时针旋转得到）

（2）依然成立，理由如下：

∵和均是等边三角形，

∴，，，

∴，

即

在和中，

∵，，，

∴

∴．

设与交于点

∵，

∴

在和中，其内角和均为

∵，

∴

（3）将绕点顺时针旋转得到,

根据旋转的性质可得：