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【题目】如图,AB是⊙O的直径,且AB =6,C是⊙O上一点,D是的中点,过点D作⊙O的切线,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD.

(l)求证:AF⊥EF;

(2)填空:

①当BE= 时,点C是AF的中点;

②当BE= 时,四边形OBDC是菱形,

【答案】(1)证明见解析;(2)①6,②3

【解析】试题分析:(1)连结OD,由直线EF与 O相切于点D,得到OD⊥EF,由同圆的半径相等推出∠1=∠3,由点D为的中点,得到∠1=∠2,证得∠2=∠3,得到OD∥AF,得出结论AF⊥EF;(2)①根据平行线分线段成比例定理,当B为的AE中点时,点C是AF的中点;②由切线的性质可证得OD⊥EF,根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BD=OB=BE,

由D是的中点,得到CD=BD, 由此CD=BD=BO=OD,

试题解析:

(1)证明:连结OD,

∵直线EF与O相切于点D,

∴OD⊥EF,

∵OA=OD,

∴∠1=∠3,

∵点D为BC的中点,

∴∠1=∠2,

∴∠2=∠3,

∴OD∥AF,

∴AF⊥EF;

(2) ①当BE=6时,

由(1)知,BC∥EF,当AB=BE ,AC=CF,

∴BE=6时,点C是AF的中点,

故答案为:6;

②当BE=3时,

∵AB是⊙O的直径,AB=6,

∴OB=OD=OC=BE=3,

∵ED是⊙O的切线,

∴OD⊥EF,

∴BD=OB=BE,

D是的中点,

∴CD=BD,

∴CD=BD=BO=OD,

四边形OBDC是菱形.

故答案为:3.

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