Question

7．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为E，连接AD、OC、OD，且OD=5．
（1）若CD=8，求AD长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理得出DE=$\frac{1}{2}$CD=4，由勾股定理求出OE，得出AE，再由勾股定理求出AD即可；
（2）设∠ADO=4x，则∠EDO=x，由等腰三角形的性质得出∠OAD=∠ADO=4x，由直角三角形的性质得出方程，解方程求出∠ADC=50°，由圆周角定理得出∠AOC=100°，由扇形面积公式即可得出结果．

解答 解：（1）∵直径AB⊥弦CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=4，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3，
∴AE=5+3=8，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
（2）设∠ADO=4x，则∠EDO=x，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO=4x，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠OAD+∠ADE=90°，
即4x+4x+x=90°，
解得：x=10°，
∴∠ADC=50°，
∴∠AOC=100°，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积=$\frac{100×π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{125π}{18}$．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形面积的计算；熟练掌握垂径定理和勾股定理，由圆周角定理求出∠AOC是解决（2）的关键．