Question

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0 的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）根据题意得出AB、AC的长，再由根与系数的关系得出k的值；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．

解答：解：（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB²+AC²=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+1，AB•AC=k²+k，
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，
即（2k+1）²-2（k²+k）=25，
整理，得
（k-3）（k+4）=0
解得k=3或-4（不合题意舍去）．
即当k=3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+1）²-4（k²+k）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+1，5AC=k²+k，
解得k=5或4，
∴AC=6或4
∴△ABC的周长为16或14．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法，以及实际应用，注意分论讨论思想．