Question

【题目】（1）如图①，在正方形中，、分别是、边上的点，，连接，交于点．求证：且；

（2）如图②，若点、分别在、的延长线上，且，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；

（3）如图③，在图②的基础上连接、、、、、分别是、、、的中点，请直接写出四边形的形状．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）正方形．

【解析】

（1）首先由正方形的性质判定，得出，然后进行等量转换即可得出；

（2）首先由正方形的性质得出，判定，得出，然后进行等量转换即可得出；

（3）由中位线定理和（2）中的结论即可判定.

（1）∵四边形是正方形

∴

∵

∴

即

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

（2）（1）中的结论成立

∵四边形是正方形

∴

又∵

∴

即

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

（3）四边形是正方形

∵、、、分别是、、、的中点，

∴

由（2）结论，得，

∴，∠HMN=∠MNP=∠NPH=∠PHM=90°

∴四边形是正方形