Question

【题目】（本题满分10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：

（1）求∠CAD的度数；

（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数；

（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）∠AEC=100°，∠AFC=20°；（3）.

【解析】试题分析：

（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，相减即可；

（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三角形的外角性质求出即可；

（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面积，相减即可．

试题解析：

：（1）∵弧AC=弧AC，

∴∠ADC=∠ABC=60°，

∵AD是直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°，

答：∠CAD的度数是30°．

（2）∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=70°-30°=40°，

∴∠BCD=∠BAD=40°，

∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°，

∵∠AFC=∠ABC-∠BCF=60°-40°=20°，

答：∠AEC=100°，∠AFC=20°．

连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，

∵∠CAD=30°，AO=3，

∴OQ=

由勾股定理得：AQ=

由垂径定理得：AC=2AQ=

∵∠AOC=2∠ABC=120°，

∴阴影部分的面积是S扇形OAC-S△AOC= .