Question

【题目】已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数解析式为;（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．理由见解析；（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．

【解析】

解：（1）∵l1⊥l2，

∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°，

又∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BCO=∠CAO,又∠COA=∠BOC=90°

∴△BOC∽△COA，

∴ ，

即，

∴，

∴点C的坐标是（0，），

由题意，可设抛物线的函数解析式为，

把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，

得 ，

解这个方程组，得，

∴抛物线的函数解析式为．

（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．

理由如下：

可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，

抛物线的对称轴为直线x=-1，

由此可求得点K的坐标为（﹣1，），

点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，），点F的坐标为（﹣1，0），

∴KD=，DE=，EF=，

∴KD=DE=EF．

（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．

理由如下：

（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），

又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，

∴△CGK为正三角形

∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），

（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，

∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，），

（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，

但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，

综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．