Question

【题目】如图AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下5个结论：①OD∥AC；②AC＝2CD；③2CD2＝CEAB；④S△AEC＝2S△DEO；⑤线段OD是DE与DA的比例中项．其中正确结论的序号( )

A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ①③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据“圆的相关性质和相似三角形的判定与性质”结合已知条件进行分析判断即可.

（1）∵AD平均∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∴OD∥AC，即结论①成立；

（2）连接BC，∵OC⊥AB，

∴AC=BC，

∵AD平均∠BAC，

∴点D是的中点，

∴CD=BD，

∵在△BCD中，CD+BD>BC，

∴2CD>BC，

∴2CD>AC，即结论②不成立；

（3）∵OC⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠CDE=∠AOC=45°，

∵点D是的中点，

∴∠COD=∠BOC=45°，

∴∠CDE=∠COD，

又∵∠DCE=∠OCD，

∴△CDE∽△COD，

∴CD：CO=CE：CD，

∴CD2=CE·CO，

∵CO=AO=AB，

∴CD2=CE·AB，

∴2CD2=CE·AB，即结论③成立；

（4）∵AC∥OD，

∴△ACE∽△DOE，

∴S△ACE：S△DOE=，

∵△AOC中，∠AOC=90°，OA=OC，

∴AC：OC=，

∴S△ACE：S△DOE=2：1，

∴S△ACE=2S△DOE，即结论④成立；

（5）∵在△AOD中，AO=DO，∠AOD=∠AOC+∠COD=135°，

∴∠OAD=∠ODA=22.5°，

∵在△DOE中，∠DOE=45°，∠ODE=22.5°，

∴∠DEO=180°-45°-22.5°=112.5°，

由此可知△AOD是等腰三角形，而△DOE不是等腰三角形，

∴△AOD和△OED不可能相似，

∴无法证明OD是AD和DE的比例中项，即结论⑤不成立.

综上所述，上述5个结论中，成立的是①③④.

故选C.