【题目】如图,正方形ABCD中,AB=1,以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边△APQ,求△APQ的边长.
【答案】△APQ的边长为.
【解析】
连接AC,交PQ于点H,根据正方形和等边三角形的性质可证Rt△ABP≌Rt△ADQ,可得△CPQ是等腰直角三角形,在直角三角形ABP中,解直角三角形可求得PH,即可求得△APQ的边长.
连接AC,交PQ于点H,
如图所示:则∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=45°,
∵△APQ是等边三角形,
∴AP=AQ=PQ,∠PAQ=60°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°,
在Rt△ABP和Rt△ADQ中,,
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ(HL),
∴∠BAP=∠DAQ,BP=DQ,
∴∠PAC=∠QAC,CP=CQ,
∴△CPQ是等腰直角三角形,
∵∠PAQ=60°,
∴∠PAC=∠QAC=30°,
∵∠APQ=60°,
∴∠AHP=90°,
∴PH=QH,
∴CH=PH=QH,AC=AB=
,
PH=tan∠PAHAH=tan30°×(AC﹣CH)=×(
﹣PH),
解得:PH=,
∴PQ=2PH=,
∴△APQ的边长为.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点.设AM的长为x,则x的取值范围是( )
A. 4≥x>2.4 B. 4≥x≥2.4 C. 4>x>2.4 D. 4>x≥2.4
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【题目】.如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,下列结论:①AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°;⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD,其中正确的有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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【题目】如图:等腰△ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】如图,已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过A(0,3),且对称轴是直线x=2.
(1)求该函数的解析式;
(2)在抛物线上找一点P,使△PBC的面积是△ABC的面积的,求出点P的坐标.
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【题目】如图,在平面角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;
(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;
(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点k,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=--x+8与x轴,y轴分别交于点A,点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
(1)求AB的长和点C的坐标;
(2)求直线CD的表达式.
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【题目】如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
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