Question

已知直线AB：y=-

1

2

x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，y轴上点C的坐标为（0，10）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿x轴向左运动，连接CM．设点M的运动时间为t，△COM的面积为S，求S与t的函数关系式；（并标出自变量的取值范围）
（3）直线AB与直线CM相交于点N，点P为y轴上一点，且始终保持PM+PN最短，当t为何值时，△COM≌△AOB，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线L的函数解析式，令y=0求A点坐标，x=0求B点坐标；
（2）由面积公式S=

1

2

×|OM|×|OC|，求出S与t之间的函数关系式；
（3）若△COM≌△AOB，OM=OB则t时间内移动了AM，可算出t值，并得到M′和M″点坐标，根据M′的坐标和C的坐标求得直线CM′的解析式，再结合直线AB
的解析式求得交点N的坐标，根据N的坐标和M″的坐标求得直线NM″的解析式，即可求得与y轴的交点P的坐标；

解答：解：（1）对于直线AB：：y=-

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2

x+5
当x=0时，y=5；当y=0时，x=10，
则A、B两点的坐标分别为A（10，0）、B（0，5）；

（2）∵C（0，10），A（10，0）
∴OC=OA=10，
当0≤t≤10时，OM=OA-AM=10-t，S_△OCM=

1

2

×10×（10-t）=50-5t；
当t＞10时，OM=AM-OA=t-10，S_△OCM=

1

2

×10×（t-10）=5t-50；
∴S=

50-5t(0≤t≤10) 5t-50(t＞10)

；

（3）分为两种情况：①当M在OA上时，OB=OM=5，△COM≌△AOB．
∴AM=OA-OM=10-5=5
∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动5个单位，所需要的时间是5秒钟；
M′（5，0），
②当M在AO的延长线上时，OM=OB=5，
则M″（-5，0），
∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动15个单位，所需要的时间是15秒钟；
连接M″N交y轴于P，
∴当t为5或15时，△COM≌△AOB，
∵C（0，10），M′（5，0），
∴直线CM′为：y=-2x+10，
由

y=- 1 2 x+5 y=-2x+10

解得

x= 10 3 y= 10 3

，
∴N（

10

3

，

10

3

），
∵M″（-5，0），
∴直线M″N为y=

2

5

x+2，
∴P点的坐标为（0，2）；

点评：此题考查了同学们根据函数图象求坐标，通过动点变化求函数关系式，以及等腰三角形的性质，分类思想的运用．