Question

【题目】如图1，直线分别与轴、轴交于A、B两点，与直线交于点C（2，）．平行于轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；直线l分别交线段BC、OC、轴于点D、E、P，以DE为斜边向左侧作等腰直角△DEF，设直线l的运动时间为（秒）．

（1）求、的值；

（2）当为何值时，点F在轴上（如图2）；

（3）设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S，请求出S与的函数关系式，并写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当＝1时，点F在轴上；（3）当0＜t≤1时，S=﹣3t2+4t；当1＜t＜2时，S=（t﹣2）2．

【解析】分析：（1）利用待定系数法即可求得k和b的值；

（2）当F在y轴上时，F到DE的距离等于DE的长的一半，据此即可列方程求得t的值；

（3）分F在y轴的左侧和右侧两种情况进行讨论，当F在y轴的左侧时，阴影部分是两个等腰直角三角形面积的差，当F在y轴的右侧时，阴影部分就是△DEF的面积，根据三角形的面积公式即可求得函数的解析式．

详解：（1）把（2，）代入y=﹣x+b得：﹣+b=，解得：b=4；

把（2，）代入y=kx中，2k=，解得：k=．

故答案为：，4；

（2）由（1）得两直线的解析式为：

y=﹣x+4和y=x，依题意得：OP=t，则D（t，﹣t+4），E（t，t），

∴DE=﹣2t+4，作FG⊥DE于G，则FG=OP=t．

∵△DEF是等腰直角三角形，FG⊥DE，∴FG=DE，即t=（﹣2t+4/span>），解得：t=1．

（3）当0＜t≤1时（如图1），S△DEF=（﹣t+4﹣t）（﹣t+4﹣t）=（﹣2t+4）2=（t﹣2）2，在y轴的左边部分是等腰直角三角形，底边上的高是：（﹣t+4﹣t）﹣t=（﹣2t+4）﹣t=2﹣2t，则面积是：（2﹣2t）2．

S=（t﹣2）2﹣（2﹣2t）2=﹣3t2+4t；

当1＜t＜2时（备用图），作FK⊥DE于点K．则：

S=（t﹣2）2．

综上所述：当0＜t≤1时，S=﹣3t2+4t；当1＜t＜2时，S=（t﹣2）2．