Question

设a为实数，若方程|（x+3）（x+1）|=x+4a有且仅有三个实数根，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数的图象,一次函数的图象

专题：

分析：作出函数图象，写出抛物线x轴下方部分关于x轴对称的抛物线解析式，再与直线y=x+4a联立求出有一个交点时的a值，然后写出有3个解时的k值即可．

解答：解：如图，（x+3）（x+1）=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
所以抛物线y=（x+3）（x+1）与x轴的交点坐标为（-3，0），（-1，0），
x=-3时，-3+4a=0，
解得x=

3

4

，
原抛物线x轴下方部分关于x轴对称的抛物线解析式为y=-（x+3）（x+1），
联立

y=-(x+3)(x+1) y=x+4a

，
消掉y得，x²+5x+3+4a=0，
△=5²-4×1×（3+4a）=0，
解得a=

13

16

，
所以方程有且仅有三个实数根，a的值为

3

4

或

13

16

．

点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，根据绝对值的性质要注意x轴下方部分的抛物线关于x轴对称，难点在于联立函数解析式求直线与抛物线关于x轴对称部分有一个交点时的情况．