Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，线段DE、AD、BE又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠DAC=∠ECB，可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，即可解题；
（2）不成立，新结论为：DE=AD-BE；证明：易证∠DAC=∠ECB，可证△ADC≌△CEB，可得CD=BE，证明新结论．

解答：解：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∵在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90° ∠DAC=∠ECB AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB，（AAS）
∴CD=BE，AD=CE
∵DE=CE+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）不成立，新结论为：DE=AD-BE；
证明：∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∵在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90° ∠DAC=∠ECB AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB，（AAS）
∴CD=BE，AD=CE
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADC≌△CEB是解题的关键．