Question

如图，正比例函数y=-

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

的图象分别交于M，N两点，已知点M（-2，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把M（-2，m）代入函数式y=-

1

2

x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=

k

x

可求出函数解析式；
（2）根据M的坐标求得N的坐标，设P（0，m），根据勾股定理列出关于m的方程，解方程即可求得m进而求得P的坐标．

解答：解：（1）∵点M（-2，m）在正比例函数y=-

1

2

x的图象上，
∴m=-

1

2

×（-2）=1，
∴M（-2，1），
∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点M（-2，1），
∴k=-2×1=-2．
∴反比例函数的解析式为y=-

2

x

．
（2）∵正比例函数y=-

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

的图象分别交于M，N两点，点M（-2，1），
∴N（2，-1），
∵点P为y轴上的一点，
∴设P（0，m），
∵∠MPN为直角，
∴△MPN是直角三角形，
∴（0+2）²+（m-1）²+（0-2）²+（m+1）²=（2+2）²+（-1-1）²，
解得m=±

5

∴点P的坐标为（0，

5

）或（0，-

5

）．

点评：考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，两点之间距离公式、勾股定理等知识．