Question

如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E．
（1）E是CF的中点吗？试说明理由；
（2）试说明：∠B=2∠BCF．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=

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AB，然后求出CD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据等边对等角可得∠DCF=∠DFC，∠B=∠BDF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．

解答：（1）解：如图，连接DF，∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，
∴DF=BF=

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AB，
∵DC=BF，
∴CD=DF，
∵DE⊥CF，
∴E是CF的中点；

（2）证明：由（1）的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD，
∵DC=BF，
∴∠DCF=∠DFC，
 由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，
∴∠FBD=2∠DCF，
即∠B=2∠BCF．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．