Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是边AB上的一动点，连结DP．

（1）若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A′处，试求AP的长；

（2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将△DAP与△PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处，若P，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′＝2，试求此时AP的长；

（3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将△DAP与△PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF，请求出CF的长．

Answer 1

【答案】（1）AP的长为或；（2）PA的长为1或3；（3）CF＝．

【解析】

（1）分两种情形：①当点A落在对角线BD上时，设AP=PA′=x，构建方程即可解决问题；②当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；

（2）分两种情形分别求解即可解决问题；

（3）如图5中，作FH⊥CD由H．想办法求出FH、CH即可解决问题；

（1）①当点A落在对角线BD上时，设AP＝PA′＝x，

在Rt△ADB中，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝5，

∵AB＝DA′＝3，∴BA′＝2，

在Rt△BPA′中，（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，

∴AP＝．

②当点A落在对角线AC上时，

由翻折性质可知：PD⊥AC，则有△DAP∽△ABC，

∴＝，∴AP＝＝＝．

∴AP的长为或；

（2）①如图3中，设AP＝x，则PB＝4﹣x，

根据折叠的性质可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x，

∵A′B′＝2，∴4﹣x﹣x＝2，∴x＝1，∴PA＝1；

②如图4中，

设AP＝x，则PB＝4﹣x，

根据折叠的性质可知：PA＝PA′＝x，PB＝PB′＝4﹣x，

∵A′B′＝2，∴x﹣（4﹣x）＝2，

∴x＝3，∴PA＝3；

综上所述，PA的长为1或3；

（3）如图5中，作FH⊥CD由H．

由翻折的性质可知；AD＝DF＝3．BG＝BF，G、F、D共线，

设BG＝FG＝x，在Rt△GCD中，（x+3）2＝42+（3﹣x）2，

解得x＝，∴DG＝DF+FG＝，CG＝BC﹣BG＝，

∵FH∥CG，∴＝＝，∴＝＝，

∴FH＝，DH＝，∴CH＝4﹣＝，

在Rt△CFH中，CF＝＝．