Question

【题目】如图， 已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.

（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.

（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋2x＋4；B（1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（3，7）或（，）或（，）

【解析】

（1）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y＝a（x1）2＋5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；

（2）先计算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，根据相似三角形的判定，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，设此时P（x，x＋4），利用两点间的距离公式得到x2＋（x＋44）2＝（3）2，求出x从而得到此时P点坐标；当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同样方法求出对应的P点坐标．

（1）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），

设抛物线的解析式为y＝a（x1）2＋5，

把C（0，4）代入y＝a（x1）2＋5得a＋5＝4，

解得a＝1，

所以抛物线解析式为y＝（x1）2＋5，

即y＝x2＋2x＋4；

当y＝1时，x2＋2x＋4＝1，

解得x1＝1，x2＝3，则B（1，1），A（3，1）；

（2）∵，

∴CD＝3，span>BD＝1，

故AM＝=2，CM＝，AC=

设直线AC的解析式为y＝kx＋b

把A（3，1），C（0，4）代入得

解得

∴直线AC的解析式为y＝x＋4，

∵CM2＋AC2＝AM2，

∴△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，

∴∠BDC＝∠MCP，

如图1，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，

设此时P（x，x＋4），

∴x2＋（x＋44）2＝（3）2，解得x＝±3，则此时P点坐标为（3，1）或（3，7）；

如图2，当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，

设此时P（x，x＋4），

∴x2＋（x＋44）2＝（）2，解得x＝±，则此时P点坐标为（，）或（，）；

综上所述，满足条件的P点坐标为（3，1）或（3，7）或（，）或（，）．