Question

【题目】如图，AB为⊙O的弦，C，D为直线AB上的两点，OC=OD．

（1）尺规作图：过点O作直线AB的垂线，垂足为点P（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件上，求证：AC=BD．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在AB下方交于一点，然后连接O和该交点交AB于点P即可；

（2）根据三线合一和垂径定理可得PC=PD，PA=PB，然后根据等式的基本性质即可得出结论．

解：（1）分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在AB下方交于一点，然后连接O和该交点交AB于点P，根据圆的性质和作图方法，OP⊥AB，如下图所示，点P即为所求．

（2）∵OC=OD，OP⊥AB于点P

∴PC=PD，PA=PB

∴PC-PA=PD-PB，

即AC=BD