【题目】如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D,连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC;
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)若DF=2,AF=5,求BD长.
【答案】(1)见解析;(2)DB=.
【解析】
(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC,再根据∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,进而得到OD⊥DM,据此可得直线DM是⊙O的切线;
(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DFDA,据此解答即可.
(1)如图所示,连接OD,
∵点E是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,
∴∠BDM=∠DBC,
∴BC∥DM,
∴OD⊥DM,
又∵OD为⊙O半径,
∴直线DM是⊙O的切线;
(2),
∴∠DBF=∠DAB,
又∵∠BDF=∠ADB(公共角),
∴△DBF∽△DAB,
∴=,即DB2=DFDA,
∵DF=2,AF=5∴DA=DF+AF=7
∴DB2=DFDA=14
∴DB=.
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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当四边形MENF是正方形时,求AD:AB的值.
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【题目】已知抛物线的对称轴为,与轴的一个交点在和之间,其部分图像如图所示,则下列结论:①点,,是该抛物线上的点,则;②;③(为任意实数).其中正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】每年5月20日是中国学生营养日,按时吃早餐是一种健康的饮食习惯,为了解本校九年级学生饮食习惯,某兴趣小组在九年级随机抽取了一部分学生每天吃早餐的情况,并将统计结果绘制成如下不完整的统计图表:
组别 | 调查结果 | 所占百分比 |
A | 不吃早餐 | 25% |
B | 偶尔吃早餐 | 12.5% |
C | 经常吃早餐 | |
D | 每天吃早餐 | 50% |
请根据以上统计图表,解答下列问题:
本次接受调查的总人数为_____人.
请补全条形统计图.
该校九年级共有学生人,请估计该校九年级学生每天吃早餐的人数;
请根据此次调查的结果提一条建议.
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【题目】已知:如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若∠CAD=∠DBC.
(1)求证:ABCD是正方形.
(2)E是OB上一点,DH⊥CE,垂足为H,DH与OC相交于点F,求证:OE=OF.
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【题目】如图,已知抛物线(>0)与轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与轴交于点C。
(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;
(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;
(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交轴交于点E,若AE:ED=1:4,求的值.
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【题目】
在复习《反比例函数》一课时,同桌的小明和小芳有一个间题观点不一致,小明认为如果两次分别从l到6六个整数中任取一个数,第一个数作为点的横坐标,第二个数作为点的纵坐标,则点在反比例函数的的图象上的概率一定大于在反比例函数的图象上的概率,而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点?
(1)试用列表或画树状图的方法列举出所有点的情形;
(2)分别求出点在两个反比例函数的图象上的概率,并说明谁的观点正确.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BC是弦,弦BD平分∠ABC交AC于F,弦DE⊥AB于H,交AC于G.
①求证:AG=GD;
②当∠ABC满足什么条件时,△DFG是等边三角形?
③若AB=10,sin∠ABD=,求BC的长.
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