Question

如图①，直线λ：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A，B，D的抛物线P叫做λ的关联抛物线，λ叫做P的关联直线．
（1）若λ：y=-2x+2，求关联抛物线P的函数解析式．
（2）若λ：y=mx+n（m＜0，n＞0），求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若λ：y=mx-4m，G为AB中点．H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=

10

，求出λ，P表示的函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）若λ：y=-2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；
（2）根据对称轴的定义解答即可；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx-4m中m的值，最后分别求出λ，P表示的函数解析式．

解答：解：（1）若l：y=-2x+2，则A（1，0），B（0，2）．
∵将△AOBAO绕点OO逆时针旋转90°，得到△COD，
∴D（-2，0）．
设P表示的函数解析式为：y=ax²+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：

a+b+c=0 c=2 4a-2b+c=0

，
解得

a=-1 b=-1 c=2

，
∴P表示的函数解析式为：y=-x²-x+2；

（2）直线λ：y=mx+n（m＞0，n＜0），
令y=0，即mx+n=0，得x=-

n

m

；令x=0，得y=n．
∴A（-

n

m

，0）、B（0，n），
∴D（-n，0）．
设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），
∵DN=AN，∴-

n

m

-x=x-（-n），
∴2x=-n-

n

m

，
∴P的对称轴为x=-

mn+n

2m

；

（3）如答图2所示，连接OG、OH．
∵点G、H为斜边中点，
∴OG=

1

2

AB，OH=

1

2

CD．
由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形．
∵点G为GH中点，
∴△OMG为等腰直角三角形，
∴OG=

2

OM=

2

×

10

=2

5

，
∴AB=2OG=4

5

．
∵λ：y=mx-4m，∴A（4，0），B（0，-4m）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
即：4²+（-4m）²=（4

5

）²，
解得：m=-2或m=2，
∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=-2．
∴l表示的函数解析式为：y=-2x+8；
∴B（0，8），D（-8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得λ：y=-

1

4

x²-x+8．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．