Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．

（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．

①当∠MBA=∠BDE时，求点M的坐标；

②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；②m的值为 或

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）①根据tan∠MBA=，tan∠BDE==，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.

（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得到，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D坐标（1，4）；

（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），

∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，

∴tan∠MBA=，

∵DE⊥x轴，D（1，4），

∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，

∵B（3，0），

∴BE=2，

∴tan∠BDE==，

∵∠MBA=∠BDE，

∴=，

当点M在x轴上方时， =，

解得m=﹣或3（舍弃），

∴M（﹣，），

当点M在x轴下方时， =，

解得m=﹣或m=3（舍弃），

∴点M（﹣，﹣），

综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；

②如图中，∵MN∥x轴，

∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，

∵四边形MPNQ是正方形，

∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，

易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，

当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m=，

当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m=，

∴满足条件的m的值为或.