Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，点E是弧AC上的一个动点，过点E的切线与AD交于点M．与CD交于点N．

（1）求证：∠MBN＝45°；

（2）设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数关系式；

（3）设正方形的对角线AC交BM于P，BN于Q，如果AP＝m，CQ＝n，求m与n之间满足的关系式．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）连接BE，证明Rt△ABM≌Rt△EBM（HL），即可得∠ABM＝∠EBM，再证明Rt△CBN≌Rt△EBN，即可证明∠CBN＝∠EBN，再根据∠ABM+∠EBM+∠EBN+∠CBN＝90°，即可证明∠MBN＝45°.

（2）根据（1）得MN＝x+y，MD＝1﹣x，ND＝1﹣y.再根据勾股定理列方程化简即可得到y关于x的函数关系式.

（3）根据△ABQ∽△BPQ和△CBP∽△BQP列出相似比，再根据相似比可得 ，代入计算即可.

证明：（1）如图，连接BE，

∵MN是⊙B的切线

∴BE⊥MN，

∵AB＝BE，BM＝BM

∴Rt△ABM≌Rt△EBM（HL）

∴∠ABM＝∠EBM，

同理可证：Rt△CBN≌Rt△EBN

∴∠CBN＝∠EBN

∵∠ABC＝90°

∴∠ABM+∠EBM+∠EBN+∠CBN＝90°

∴2（∠MBE+∠NBE）＝90°

∴∠MBN＝45°

（2）∵Rt△ABM≌Rt△EBM，Rt△CBN≌Rt△EBN

∴AM＝ME＝x，CN＝NE＝y

∴MN＝x+y，MD＝1﹣x，ND＝1﹣y

∵MD2+ND2＝MN2，

∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，

∴1﹣2x+1﹣2y＝2xy

∴y＝

（3）∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝BC＝1，∠BAC＝∠ACB＝45°

∴AC＝

∵∠MBN＝∠BAC＝45°，∠AQB＝∠AQB

∴△ABQ∽△BPQ

∴

∴ ①

∵∠MBN＝∠ACB＝45°，∠CPB＝∠BPQ

∴△CBP∽△BQP

∴

∴ ②

由①②得：

∴AC﹣CQ＝

∴﹣n＝

∴m＝