Question

已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，求证：四边形ABCD∽四边形BFOE．

Answer 1

考点：相似多边形的性质

专题：证明题

分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO=BO=CO=DO，然后判断出OE、OF分别是△ABD和△BCD的中位线，再根据三角形的中位线定理求出两个四边形的对应边成比例，再求出对应角相等，从而得证．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴OE、OF分别是△ABD和△BCD的中位线，
∴

BE

AB

=

OE

AD

=

OF

CD

=

BF

BC

=

1

2

，
又∵∠ABC=∠EBF=90°，∠BCD=∠BFO=90°，
∠CDA=∠FOE=90°∠BAD=∠BEO=90°，
∴四边形ABCD∽四边形BFOE．

点评：本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理并求出两个四边形的对应边成比例是解题的关键．