Question

【题目】△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．

（1）判断三角形的形状；

（2）若以边b为直径的半圆面积为2π，求△ABC的面积；

（3）若以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，求以边c为直径的半圆面积．（用p、q表示）

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，见解析；（2）△ABC的面积＝6；（3）以边c为直径的半圆面积＝p+q．

【解析】

（1）先求出a2+b2及c2的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可；

（2）先求出b＝4，得出n＝2，a＝3，即可得出答案；

（3）由圆面积公式得出 ，，再由勾股定理和圆面积公式进一步求解即可得出答案．

（1）△ABC是直角三角形，理由如下：

∵在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），

∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，

∴a2+b2＝c2，

∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形．

（2）∵以边b为直径的半圆的半径为r，则π（）2＝2π，

解得：b＝4，

∴2n＝4，

∴n＝2，

∴a＝3，

∴△ABC的面积＝ab＝×3×4＝6；

（3）∵以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，

∴p＝π（）2＝，q＝π（）2＝，

∵△ABC是直角三角形，

∴a2+b2＝c2，

∴以边c为直径的半圆面积＝π（）2＝＝（a2+b2）＝＝p+q．