Question

20．抛物线y=x²+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，PE⊥BC于E，且CE=3PE，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点代入，根据待定系数法即可解决．
（2）图，取点M（4，1），连接AM，CM，CM交抛物线于P₁，作MF⊥AB于F，只要证明点P₁满足条件，求出直线CM与抛物线的交点即可，再根据对称性求出点P₂．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
（2）如图，取点M（4，1），连接AM，CM，CM交抛物线于P₁，作MF⊥AB于F，
在△ACO和△MAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=AF}\\{∠AOC=∠AFM}\\{OA=MF}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△MFA，
∴AC=AM，∠ACO=∠MAF，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO+∠MAF=90°，
∴∠CAM=90°，∴∠ACM=∠AMC=45°，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠OCB=∠ACM，
∴∠ACO=∠BCM
∴tan∠ACO=tan∠BCM=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CE=3P₁E，
∵直线CM为：y=-$\frac{1}{2}x+3$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P₁（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∵点M关于BC的对称点N（2，-1），
∴∠MCB=∠NCB，
∴直线CN与抛物线的交点P₂也是符合条件的，
∵点N在抛物线上，
∴P₂与N重合，
∴P₂（2，-1），
综上所述点P的坐标为（2，-1）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查抛物线由x轴的交点，学会待定系数法确定函数解析式，添加辅助线构造等腰直角三角形是解决问题的关键，属于中考压轴题．