Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=$\frac{5}{13}$，BC=26．求cos∠DAC的值和腰长CD．

Answer 1

分析 解Rt△ABC求出AB，根据勾股定理求出AC，根据平行线性质求出∠DAC=∠ACB，利用余弦函数定义求出cos∠ACB即可得到cos∠DAC的值；过D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质求出AE=EC=12，根据cos∠DAC=$\frac{12}{13}$即可求出腰长CD．

解答 解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△ABC中，cosB=$\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}$，BC=26，
∴AB=10，
∴$AC=\sqrt{B{C^2}-A{B^2}}=\sqrt{{{26}^2}-{{10}^2}}=24$．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴cos∠DAC=cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$；
过点D作DE⊥AC，垂足为E，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCE，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=12，
在Rt△CDE中，cos∠DCE=cos∠DAC=$\frac{CE}{DC}=\frac{12}{13}$，
∴DC=$\frac{13EC}{12}$=13．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义，能正确解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．