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【题目】已知函数yn为常数).

1)当n1时,

①点P(﹣3m)在此函数图象上,求m的值.

②当﹣4≤x≤3时,求此函数的最大值和最小值.

2)当xn时,若此函数的图象与坐标轴只有两个交点,求n的取值范围.

3)若n0,当此函数的图象与以A03)、B5,﹣2)、C(﹣5,﹣2)、D(﹣53)为顶点的四边形的边有且只有四个公共点时,直接写出n的取值范围.

【答案】1)①-1;②最大值为5,最小值为﹣6;(20n;(31n2.6n2.9

【解析】

1)①利用待定系数法解决问题即可.
②分别求出分段函数在-4x3上的最大值以及最小值即可解决问题.
2)分n0n=0n0三种情形画出图形分别求解即可.
3)分两种情形:如图3-1中,当四边形ABCD与函数y=-x2-2nx+2xn)有3个交点,与函数y=x2-2nx+2xn)有1个交点时,如图3-2中,当四边形ABCD与函数y=-x2-2nx+2xn)有2个交点,与函数y=x2-2nx+2xn)有2个交点时,
分别构建不等式组解决问题即可.

1n1时,函数为y

①∵P(﹣3m)在函数图象上,

m=﹣9+6+2=﹣1

②当﹣4≤x1时,y=﹣x22x+2,最小值为﹣16+8+2=﹣6,最大值为﹣1+2+23

1x≤3时,yx22x+2,最小值为12+21,最大值为96+25

综上所述,当﹣4≤x≤3时,此函数的最大值为5,最小值为﹣6

2)①当n0时,图象如图所示,

当函数y=﹣x22nx+2xn时,y≥0即可满足条件,

∴﹣n22n2+2≥0

解得﹣n

n0

0n

②当n0时,显然不符合题意.

③当n0时,不存在符合条件的n的值.

综上所述,满足条件的n的值为0n

3)如图31中,当四边形ABCD与函数y=﹣x22nx+2xn)有3个交点,与函数yx22nx+2xn)有1个交点时,

满足:

解得1n

如图32中,当四边形ABCD与函数y=﹣x22nx+2xn)有2个交点,与函数yx22nx+2xn)有2个交点时,

满足:

解得2.6n2.9

综上所述,满足条件的n的值为1n2.6n2.9

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