Question

7．若三角形的3条边长a，b，c是整数，且一边上的高恰等于另两条边上的高之和，这样的三角形叫做“玲珑三角形”．求证：
（1）存在“玲珑三角形”；
（2）“玲珑三角形”中，a²+b²+c²是一个完全平方数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的三边关系进行证明即可；
（2）设三角形的面积为S，根据一边上的高恰等于另两条边上的高之和，利用完全平方公式解答即可．

解答 证明：（1）设三角形的面积为S，设c边上的高是另两条高之和则$\frac{2s}{a}+\frac{2s}{b}=\frac{2s}{c}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，
c（a+b）=ab，
当a=b=2，c=1时，满足c（a+b）=ab，
2+1＞2，符合三角形的条件，
所以存在“玲珑三角形”；
（2）设三角形的面积为S，设c边上的高是另两条高之和则$\frac{2s}{a}+\frac{2s}{b}=\frac{2s}{c}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，
c（a+b）=ab，
b²+a²+c²=（a+b）²-2ab+c²=（a+b-c）²，
因为a、b、c都为整数，所以a+b-c为整数，
所以a²+b²+c²是一个完全平方数．

点评 此题考查三角形边角关系，在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．