Question

【题目】如图1，，,．

（1）求的度数的大小;

（2）如图2，若连接，请判断直线与直线的位置关系，并说明理由；

（3）如图2，根据（2）问的条件，连接与直线交于点，若，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）的度数为45°；（2），见解析；（3）．

【解析】

（1）连接AB，过D作DT∥AE，则DT∥BF，由直角三角形的性质得出∠CAB+∠CBA=90°，由平行线的性质得出∠BAE+∠ABF=180°，得出∠CAE+∠CBF=90°，由角平分线得出∠CAD=∠EAD，∠CBD=∠FBD，证出∠EAD+∠FBD=45°，由平行线的性质得出∠TDA=∠EAD，∠TDB=∠FBD，得出∠TDA+∠TDB=45°即可；
（2）证明△ACD≌△BCD得出∠CDA=∠CDB，证出∠DAC=67.5°-45°=22.5°，进一步得出∠CDA=∠EAD，即可得出结论；
（3）证明△AGC是等腰直角三角形，得出CG=AG=3，由三角形面积公式即可得出结果．

（1）连接AB，过D作DT∥AE，则DT∥BF，如图1所示：

∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AE∥BF，
∴∠BAE+∠ABF=180°，
∴∠CAE+∠CBF=90°，
∵∠AD、BD分别是∠EAC、∠FBC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，∠CBD=∠FBD，
∵∠CAD+∠EAD+∠CBD+∠FBD=90°，
∴∠EAD+∠FBD=45°，
∵DT∥AE，
∴∠TDA=∠EAD，
∵DT∥BF，
∴∠TDB=∠FBD，
∴∠TDA+∠TDB=45°，
∴∠ADB=45°；
（2）CD∥AE；理由如下：
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAC=∠DBC，
在△ACD和△BCD中，

，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠CDA=∠CDB，
∵∠ADB=45°，
∴∠CDA=22.5°，∠BAD=67.5°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAC=67.5°-45°=22.5°，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=22.5°，
∴∠CDA=∠EAD，
∴CD∥AE；
（3）∵∠CDA=∠CDB，AD=BD，
∴DG⊥AB，AG=BG=AB=3，
∵∠CAB=45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴CG=AG=3，
∴S△ABC=ABCG=×6×3=9．